Actividades de cálculo combinatorio y probabilidad

Cálculo combinatorio elemental y de probabilidades: actividades.

M. C. David Vázquez Santa Ana 

Querétaro, 2018

Las siguientes actividades corresponden al tema final del Curso: Probabilidad y estadística I.

Procedimientos.

1. Un experimento consta de tres pasos: para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay cuatro resultados posibles. ¿Cuántos resultados distintos hay para el experimento completo?

2. ¿De cuántas maneras es posible seleccionar tres objetos de un conjunto de seis objetos? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumera todas las combinaciones diferentes de tres objetos.

3. ¿Cuántas permutaciones de tres objetos se pueden seleccionar de un grupo de seis objetos? Usa las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumera cada una de las permutaciones factibles para los objetos B, D y F.

4. Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces.

1. Elabora un diagrama de árbol de este experimento.
2. Enumera los resultados del experimento.
3. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados?

5. Asume que un experimento tiene cinco resultados igualmente posibles: E1, E2, E3, E4 y E5. Asigna probabilidades a los resultados y muestra que satisfacen los requerimientos de una distribución de probabilidad. ¿Qué método empleaste?

6. Un experimento que tiene tres resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigna probabilidades a los resultados. ¿Qué método empleaste?

7. La persona que toma las decisiones asigna las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1)= 0.10, P(E2)= 0.15, P(E3)= 0.40 y P(E4)= 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidades? Argumenta tu respuesta.

Aplicaciones.

8. En una ciudad, las solicitudes de cambio de uso de suelo pasan por un proceso de dos pasos: una revisión por la comisión de planeación y después la decisión final tomada por el Consejo de la ciudad. En el primer paso, la comisión de planeación revisa la solicitud de cambio de uso de suelo y hace una recomendación positiva o negativa respecto al cambio. En el segundo paso, el Consejo de la ciudad revisa la recomendación hecha por la comisión de planeación y vota para aprobar o desaprobar el cambio de suelo. Suponga que una empresa dedicada a la construcción de condominios presenta una solicitud de cambio de uso de suelo. Considera el proceso de la solicitud como un experimento.¿Cuántos puntos muestrales tiene este experimento? Enuméralos. Construye el diagrama de árbol del experimento.

9. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N para obtener datos para hacer inferencias acerca de las características de la población. Suponga que, de una población de 50 cuentas bancarias, desea tomar una muestra de cuatro cuentas con objeto de tener información acerca de la población. ¿Cuantas muestras diferentes de cuatro cuentas pueden obtener?

10. Una empresa que produce pasta de dientes está analizando el diseño de cinco empaques diferentes. Suponiendo que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques, ¿cuál es la probabilidad de selección que se le asignaría a cada diseño de empaque?

       Por otra parte, en un estudio se pidió a 100 consumidores que escogieran el diseño que  

  más les gustara. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

Diseño.	Número de veces elegido.
1	5
2	15
3	30
4	40
5	10

      ¿Confirman estos datos la creencia de que existe la misma posibilidad de que los clientes 

      elijan cualquiera de los empaques? Explica.

Actividades complementarios.

11. En un sondeo se les pidió a 1035 adultos su opinión respecto a los negocios (BusinessWeek, 11 de septiembre de 2000). Una de las preguntas era: “¿Cómo califica usted a las empresas estadunidenses respecto a la calidad de los productos y competitividad a nivel mundial?” Las respuestas  fueron: excelentes, 18%; bastante buenas, 50%; regulares, 26%; malas, 5% y no saben o no contestaron 1%.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un interrogado considere a las empresas estadounidenses bastante buenas o excelentes?
2. ¿Cuántos de los interrogados consideraron malas a las empresas estadounidenses?
3. ¿Cuántos de los interrogados dijo no saber o no contestó?

12. Un administrador financiero realiza dos nuevas inversiones, una en la industria del petróleo y otra en bonos municipales. Después de un año cada una de las inversiones se clasificará como buena o no. Considere como un experimento el resultado que se obtiene con estas dos acciones.

1. ¿Cuántos puntos muestrales hay en este experimento?
2. Elabora un diagrama de árbol y enumera los puntos muestrales.
3. Sea:

O = el evento la inversión en la industria del petróleo es buena; y,

M = el evento la inversión en los fondos municipales es buena.

Escribe los puntos muestrales de O y de M.

4. Enumera los puntos muestrales de la unión de los eventos ().
5. Cuenta los puntos muestrales de la intersección de los eventos ().
6. ¿Son mutuamente excluyentes los eventos O y M? Explica.

13. En una encuesta por teléfono para determinar la opinión de los televidentes respecto a un nuevo programa de televisión se obtuvieron las opiniones siguientes:

Opinión	Frecuencia
Malo	4
Regular	8
Bueno	11
Muy bueno	14
Excelente	13

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un televidente tomado aleatoriamente opine que el nuevo programa es bueno o le dé un calificativo mejor.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un televidente tomado aleatoriamente opine que el nuevo programa es regular o le dé un calificativo inferior?

14. (Sólo para audaces.) Una aplicación bastante sorprendente de las técnicas elementales de conteo es el llamado problema del cumpleaños. Supongamos que los cumpleaños de las personas son igual de probables que los de los 365 días del año. (Ignoramos los años bisiestos y el hecho de que las tasas de natalidad no son exactamente uniformes a lo largo del año.) Calcula la probabilidad p de que no haya dos personas en un grupo de n personas que tengan el mismo cumpleaños. Prueba para un grupo de n= 23 personas.