New Port High School

Proyecto. Parte III. Crecimiento exponencial.

Objetivo. En esta tercera parte del Proyecto del curso de Matemáticas IV, construirás el modelo exponencial de un cultivo de bacterias y lo usarás para simularlo, es decir, para responder cuestiones relacionadas con este sistema basándote en el modelo elaborado. Usa GeoGebra para hacer los cálculos y trazar las gráficas requeridas.

Evaluación. Esta tercera parte tiene una ponderación del 50% del Proyecto del curso.

Actividad 1. Realiza una investigación acerca de la bacteria Escherichia coli y escribe aquella información que te parezca relevante.

Modelado exponencial y simulación de un cultivo de Escherichia coli.
Entre los ejemplos más significativos de un sistema que crece exponencialmente se encuentran los cultivos de bacterias. En particular, una sola bacteria de Escherichia coli,  a 37 °C, se puede dividir una vez cada 20 minutos. Por lo tanto, si este proceso se pudiera repetir durante 11 horas, se obtendría una colonia con más de ocho mil millones de individuos. Más aún, si hay suficientes nutrientes, entonces en dos días la masa de esta colonia excedería la masa de la Tierra. Por una u otra causa esto no llega a ocurrir.
Con base en la información proporcionada en el párrafo anterior, construye un modelo exponencial de crecimiento de la bacteria Escherichia coli. Para ello, tal vez te sea útil la siguiente información.
El crecimiento exponencial se modela por una función de la forma:

p(x)=p0  a^x 

• La variable x es la cantidad de periodos de tiempo.
• La base a>1 es el factor de crecimiento, es decir, es el factor de multiplicación cuando x aumenta un período de tiempo.
• La constante p0 es el valor inicial de p (el valor cuando x=0).
• El modelo p tiene una gráfica como la siguiente:

Actividad 2. Construcción del modelo de crecimiento de la Escherichia coli, para un cultivo que comienza con una sola bacteria.

1. Análisis aritmético o tabular del cultivo con una sola bacteria de Escherichia coli. Suponiendo que se cultiva una bacteria a 37°C, calcula la cantidad de bacterias que se generan conforme transcurre el tiempo. Para ello completa la siguiente tabla.

Tiempo                                    Cantidad de bacterias
(periodos de 20 minutos)
0                                                             1
1
2
3
4
5
10
100

2. Modelo algebraico (fórmula) para el cultivo de una sola bacteria de Escherichia coli. Escribe el modelo de crecimiento de un cultivo que comienza con una sola bacteria. Para ello identifica los valores de los siguientes parámetros:

Valor inicial:
          p_0= ______________________.

Factor de crecimiento:
        a = ______________________.

Modelo de crecimiento:
        p(x) = ______________________.

3. Usa GeoGebra para trazar la gráfica del modelo y pon su imagen.

4. ¿Cuántas bacterias habrá exactamente en 11 horas?
     p(________)= ______________________.

5. ¿En cuánto tiempo habrá 11 millones de bacterias?
    p(________)= ______________________.

Actividad 3. Construcción del modelo de crecimiento de la Escherichia coli, para un cultivo que comienza con diez bacterias.

6. Realiza las actividades 1 – 5 pero ahora con un cultivo de Escherichia coli que comienza con 10 bacterias.

Actividad 4. Presentación de resultados.

7. Escribe tus observaciones y conclusiones acerca del crecimiento exponencial.
8. Elabora una presentación en PowerPoint con tus tablas , gráficas, resultados, observaciones y conclusiones. La duración de tu presentación debe ser de 5 minutos.