New Port High School

PROYECTO: EL MÉTODO DE MONTECARLO
Asesor: David Vázquez Santa Ana
INTRODUCCIÓN
El Método de Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. Se suele adjudicar la creación de este método a los matemáticos J. von Neumann y S. Ulam quienes hacia 1949 publicaron el artículo The Monte Carlo Method. Sin embargo, este método ya era empleado desde antes pero fue hasta la aparición de las computadoras que comenzó a aplicarse en diversas áreas pues la simulación de variables aleatorias con lápiz y papel era un proceso muy laborioso.
En este Proyecto emplearemos el Método de Montecarlo para aproximar el área de algunas figuras planas sencillas con la finalidad de tener una primera comprensión del uso y simulación de variables aleatorias, en particular, de variables aleatorias uniformes continuas.

APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Nuestro problema de partida es calcular el área de una figura plana, definida geométrica o algebraicamente y compuesta de uno o varios pedazos. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el área de la figura1, que está centrada en un cuadrado.

Fig. 1.

Entonces, generamos aleatoriamente n puntos que “caigan“ dentro del cuadrado y contamos los puntos que están en el círculo o en los anillos circulares. Si la cantidad de estos puntos es a, entonces por razones geométricas el área  de la figura será aproximadamente igual a la razón:

área figura ~ a/n

Cuanto mayor sea el número de puntos n, tanto mejor será la exactitud de esta estimación. En nuestro ejemplo el área es igual a:

A=1.82212

y algunas aproximaciones e imágenes se muestran a continuación:

Fig. 2. n=1 000;    A≈1.876

Fig. 3. n=10 000;    A≈1.8576

Para llevar a cabo el Método de Montecarlo, se elabora un programa para la realización de una prueba aleatoria. En nuestro ejemplo, generamos (pseudo)aleatoriamente un punto que esté en el cuadrado y determinamos si pertenece o no a la figura. Después, realizamos esta prueba n veces, de manera que sea independiente de las restantes. Finalmente contamos los puntos que caen en la figura y calculamos la proporción.

ACTIVIDADES

Usa el Método de Montecarlo para aproximar el área de las siguientes figuras:

ESQUEMA DEL PROYECTO.

• Usa el comando Aleatorio() de Excel para generar aleatoriamente la abscisa y ordenada de puntos que caigan sobre el cuadrado respectivo.
• Usa una fórmula que relacione la abscisa y la ordenada para poder seleccionar los puntos que pertenezcan a la figura.
• Usa el comando condicional Si(_, __) para seleccionar los puntos que están sobre la figura y cuéntalos.
• Calcula la proporción a/n y compárala con el área de la figura.
• (Opcional.) Intenta marcar los puntos de la figura en un plano coordenado.