Conjuntos,
conteo y cálculo de
probabilidades:
guía para el examen.
M. C. David Vázquez Santa
Ana
Querétaro,
2108.
1. Diseño de un producto.
Una empresa que produce
pasta de dientes está analizando el diseño de cinco empaques diferentes.
(a). Suponiendo que existe
la misma posibilidad de que los clientes elijan cualquiera de los empaques,
¿cuál
es la probabilidad de
selección que se le asignaría a cada diseño de empaque?
(b). Por otra parte, en un
estudio, se pidió a 100 consumidores que escogieran el diseño que más les
gustara.
Los resultados se muestran en la tabla
siguiente.
Diseño Número de veces que
fue elegido
A 5
B 15
C 30
D 40
¿Confirman estos datos la
creencia de que existe la misma posibilidad de que los clientes elijan
cualquiera de
los empaques? Justifica tu
respuesta con base en el cálculo de probabilidades.
2. ¿Cuál es el helado
favorito de los mexicanos?
El 12/04/2018 el periódico El
Universal publicó la siguiente información en línea:
“Los sabores [de helado]
que más se consumen [por los mexicanos] son: vainilla (12%), fresa (6%),
chocolate
(10%), limón (5%) y
napolitano (45%).”
(a). ¿Puedes construir una
distribución de probabilidad con estos datos? ¿Cómo harías para que, en todo
caso, tuvieras a tu
disposición una distribución de probabilidad? Explica brevemente.
Bajo la suposición de que
ya tengas una distribución de probabilidad de los sabores de helado preferidos
por
los mexicanos, contesta las
siguientes preguntas. (Se asume que los consumidores son mexicanos.)
(b). ¿Cuál es la
probabilidad de que cuando se compren dos helados al menos uno sea de vainilla?
(c). ¿Cuál es la
probabilidad de que se compre un helado de chocolate y, a continuación, se
compre un napolitano?
¿Son eventos
independientes?
(d). ¿Cuál es la
probabilidad de que al comprar un helado no sea de limón?
3. Sorteo simple.
En una bolsa hay bolas
iguales de tres colores: 3 blancas, 4 verdes y 5 rojas; si se saca una bola y
se mira el
color, halla la
probabilidad de que:
(a). sea blanca;
(b). sea verde;
(c). sea roja;
4. Tres volados.
Considere el experimento de
lanzar una moneda tres veces.
a. Muestra todos los
resultados posibles del experimento. (Sugerencia: haz un diagrama de árbol.)
b. Elabora una distribución
(tabla) de probabilidad bajo el principio de razón insuficiente.
c. ¿Cuál es la probabilidad
de que no salga “sol” en ninguno de los tres volados?
d. ¿Cuál es la probabilidad
de que salgan dos “águilas” exactamente?
e. ¿Cuál es la probabilidad
de que salga “águila” en el segundo volado?
5. Sorteo sin devolución.
Tenemos una caja con 3
bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos al azar 3 bolas de la caja, sin
devolución,
entonces:
(a). Calcula el espacio
muestral de este experimento.
(b). Construye los
siguientes eventos (subconjuntos) y calcula sus probabilidades:
A = la última bola sacada
es roja
B = sólo se ha sacado una
bola roja
C = Se han sacado, al
menos, 2 bolas rojas
D = No se han sacado dos
bolas seguidas del mismo color.
6. Sorteo con devolución.
Tenemos una caja con 3
bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos al azar 3 bolas de la caja, regresando
cada
bola extraída a la caja,
entonces:
(a). Calcula el espacio
muestral de este experimento.
(b). Construye los
siguientes eventos (subcinjuntos) y calcula sus probabilidades:
A = la última bola sacada
es roja
B = sólo se ha sacado una
bola roja
C = Se han sacado, al
menos, 2 bolas rojas
D = No se han sacado dos
bolas seguidas del mismo color.
7. Librero.
Un estudiante quiere
acomodar 5 libros de arte, 3 de poesía y 2 de matemáticas en una repisa (es
decir, en
una “fila”.)
(a). Calcula la cantidad de
formas diferentes en que puede hacerlo.
(b). ¿De cuántas formas
diferentes puede acomodar todos los libros si los de matemáticas deben estar
juntos?
(c). ¿De cuántas formas
diferentes puede acomodar todos los libros si deben estar juntos los de la
misma
temática?
(d). Calcula las
probabilidades de los eventos establecidos en los incisos (b) y (c).
Misceláiscelánea
8. Moneda cargada.
Se ha probado
experimentalmente que la probabilidad de que una moneda cargada caiga cara es
0.35. Si
lanzamos simultáneamente
dos monedas cargadas de este tipo, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos
una
de ellas, caiga cara?
9. Penaltis.
En un partido de fútbol, a
un equipo le pitan 2 penaltis en contra. Los va a tirar el mismo delantero del
equipo
contrario, cuya
probabilidad de meter gol es 0,8 (es decir, mete 8 penaltis de cada 10 que
tira).
(a). ¿Cuál es la
probabilidad de que falle los dos penaltis?
(b). Calcula la
probabilidad de que meta, al menos, un gol.
10. Control de calidad.
Se tiene una caja con 24
latas y se sabe que dos están contaminadas. Se van a seleccionar tres latas al
azar
para someterlas a una
prueba de control de calidad, es decir, para medir los estándares de calidad de
la
empresa.
a) ¿Cuántas combinaciones
de tres latas pueden hacerse?
b) ¿Cuál es la probabilidad
de que se seleccione una lata contaminada para la prueba?
c) ¿Cuál es la probabilidad
de que se seleccione al menos una lata contaminada para la prueba?
d) ¿Y la probabilidad de
que no se elijan latas contaminadas para la prueba?
